عالم رياضيات يكشف أن كلمة (=) لها أكثر من معنى في الرياضيات

هناك بعض المفاهيم الغامضة جدًا في الرياضيات والتي قد يكون من الصعب استيعابها، ولكن معنى 'يساوي' هو المعنى الذي اعتقدنا أننا متفقون على وضوحه.

اتضح أن علماء الرياضيات في الواقع لا يستطيعون الاتفاق على تعريف ما الذي يجعل شيئين متساويين، وهذا يمكن أن يسبب بعض الصداع لبرامج الكمبيوتر التي تستخدم بشكل متزايد للتحقق من البراهين الرياضية.

ظل هذا الخلاف الأكاديمي محتدمًا لعقود من الزمن، ولكنه وصل أخيرًا إلى ذروته لأن برامج الكمبيوتر المستخدمة في 'إضفاء الطابع الرسمي' أو التحقق من البراهين تحتاج إلى تعليمات واضحة ومحددة؛ ليست تعريفات غامضة للمفاهيم الرياضية المفتوحة للتفسير أو التي تعتمد على السياق الذي لا تمتلكه أجهزة الكمبيوتر.

واجه عالم الرياضيات البريطاني كيفن بوزارد من إمبريال كوليدج لندن هذه المشكلة عندما تعاون مع مبرمجي الكمبيوتر، ودفعته إلى إعادة النظر في تعريفات 'هذا يساوي ذلك'، من أجل 'تحدي مختلف الشعارات المعقولة حول المساواة'.

كتب Buzzard في نسخته الأولية المنشورة على خادم arXiv: 'منذ 6 أعوام، اعتقدت أنني فهمت المساواة الرياضية. اعتقدت أنه كان مصطلحًا محددًا جيدًا... ثم بدأت في محاولة القيام بالرياضيات على مستوى الماجستير في نظرية الكمبيوتر واكتشفت أن المساواة كانت مفهومًا شائكًا إلى حدٍ ما'.

علامة التساوي (=) بخطيها المتوازيين اللذين يمثلان بشكل أنيق التكافؤ بين الأشياء الموضوعة على كلا الجانبين، اخترعها عالم الرياضيات الويلزي، روبرت ريكورد، في عام 1557، وفقا لمجلة ساينس ألرت.

لم ينتشر الأمر في البداية، ولكن مع مرور الوقت، حل رمز Recorde البديهي ببراعة محل العبارة اللاتينية 'aequalis' ووضع لاحقًا الأساس لعلوم الكمبيوتر. بعد مرور 400 عام بالضبط على اختراعها، تم استخدام علامة التساوي لأول مرة كجزء من لغة برمجة الكمبيوتر، FORTRAN I، في عام 1957.

ومع ذلك، فإن مفهوم المساواة له تاريخ أطول بكثير، ويعود تاريخه إلى اليونان القديمة على الأقل. وكتب بوزارد أن علماء الرياضيات المعاصرين، في الممارسة العملية، يستخدمون المصطلح بشكل فضفاض إلى حد ما.

في الاستخدام المألوف، تقوم علامة التساوي بإعداد معادلات تصف كائنات رياضية مختلفة تمثل نفس القيمة أو المعنى، وهو أمر يمكن إثباته من خلال عدد قليل من المفاتيح والتحويلات المنطقية من جانب إلى آخر. على سبيل المثال، يمكن للعدد الصحيح 2 أن يصف زوجًا من الكائنات، كما يمكن أن يصف 1 + 1.

لكن التعريف الثاني للمساواة تم استخدامه بين علماء الرياضيات منذ أواخر القرن التاسع عشر، عندما ظهرت نظرية المجموعات.

وتطورت نظرية المجموعات ومعها توسع تعريف علماء الرياضيات للمساواة أيضًا. مجموعة مثل {1، 2، 3} يمكن اعتبارها 'مساوية' لمجموعة مثل {a، b، c} بسبب فهم ضمني يسمى التماثل الكنسي، الذي يقارن أوجه التشابه بين هياكل المجموعات.

قال بوزارد لمجلة New Scientist: 'تتطابق هذه المجموعات مع بعضها البعض بطريقة طبيعية تمامًا، وأدرك علماء الرياضيات أنه سيكون من المناسب حقًا أن نقول إن هذه المجموعات متساوية أيضًا'.

ومع ذلك، فإن اعتبار التماثل القانوني يعني المساواة يسبب الآن 'بعض المشاكل الحقيقية'، كما كتب بوزارد، لعلماء الرياضيات الذين يحاولون إضفاء الطابع الرسمي على البراهين - بما في ذلك المفاهيم التأسيسية التي عمرها عقود - باستخدام أجهزة الكمبيوتر.

وقال بوزارد لويلكينز، في إشارة إلى ألكسندر جروتينديك، عالم الرياضيات الرائد في القرن العشرين، والذي اعتمد على نظرية المجموعات لوصف المساواة: 'لا يوجد أي من أنظمة الكمبيوتر الموجودة حتى الآن تلتقط الطريقة التي يستخدم بها علماء الرياضيات مثل جروتينديك رمز التساوي'.

يعتقد بعض علماء الرياضيات أنه يجب عليهم فقط إعادة تعريف المفاهيم الرياضية لمساواة التماثل الكنسي رسميًا بالمساواة.

بوزارد لا يوافق. ويعتقد أن التناقض بين علماء الرياضيات والآلات يجب أن يدفع عقول الرياضيات إلى إعادة التفكير في ما يقصدونه بالضبط بالمفاهيم الرياضية الأساسية مثل المساواة حتى تتمكن أجهزة الكمبيوتر من فهمها.

يكتب بوزارد: 'عندما يضطر المرء إلى كتابة ما يعنيه بالفعل ولا يستطيع الاختباء وراء مثل هذه الكلمات غير المحددة'. 'يجد المرء أحيانًا أنه يتعين عليه القيام بعمل إضافي، أو حتى إعادة التفكير في كيفية تقديم أفكار معينة'.